Величину изменения радиуса кривизны резцовой головки при обкатке с гипоидным смещением можно определить из следующих соображений. Центр С резцовой головки (фиг. 141), вращаясь вокруг точки О_л, движется в направлении v₁, а точка контакта резцовой головки с линией зуба нарезаемого зубчатого колеса перемещается в направлении v₂.

(фиг. 141)

Следовательно, мгновенным центром, вокруг которого вращается в данный момент прямая CP, будет точка М, лежащая на пересечении перпендикуляров к направлениям движения v₁ и v₂. Центр кривизны образующейся линии зуба должен в данный момент вращаться вокруг мгновенного центра М, причем направление его вращения должно совпадать с направлением вращения вокруг точки О_ш. Следовательно, искомый центр кривизны должен лежать на прямой, соединяющей точки О_ш и М и одновременно на нормали CP к линии зуба, т. е. в точке С’ пересечения линий О_шМ и СР. Величину отрезка СС’=Δr₁ можно определить, применив метод проективной геометрии. Проведя из точки М луч MP’ под элементарно малым углом РМР’, получим точки P’ и Р”. Теперь на прямых АР” и CP’ имеем по четыре точки, образующие две гармонические группы, находящиеся в проективном соответствии:

(Р”О_шРА)=(ДђРС)

Для каждой из этих групп можно написать двойное отношение:

P”P/О_шР:Р”А/О_шА=Р’Р/С’Р:Р’С/С’С

Подставив в это уравнение значения соответствующих отрезков, получим

Δh/L:Δh+L+Δl/Δl=ΔR/r_u—Δr₁:r_u+ΔR/Δr₁,

откуда

Δr₁=Δl (r_u—Δr₁) (r_u+ΔR)/L (Δh+L+Δl)·Δh/ΔR

При ΔR, стремящемся к нулю, Δh также стремится к нулю, а

lim_ΔR→0 Δh/ΔR=sin β;

таким образом,

Δr₁=Δlr_u (r_u—Δr₁) sin β/L (L+Δl)

Практически величины Δr₁ и Δl весьма малы по сравнению с r_u и L; поэтому можно написать

Δr₁≈Δlr²_u sin β/L²

Полученное уравнение можно было бы вывести аналогичным способом, поместив точку О_л в точку А, причем было бы Δl=ΔL. В нашем же случае величина Δl определяется из фиг. 141 следующим образом:

Δl=Е_м tg β+Е_м ctg q=Е_м (tg β+ctg q),

следовательно,

Δr₁=Е_м (tg β+ctg q) r²_u sin β/L² (7.64)

Полученную формулу можно еще более упростить, если, допуская сравнительно небольшую погрешность, принять ctg q=ctg q₀=H₀:V₀; тогда

Δr₁=Е_м r²_u/L (V₀ tg β+H₀/V₀) sin β

Подставив сюда значения H₀ и V₀, получим

Δr₁=Е_м r_u/L tg β (7.65)