При нарезании конических зубчатых колес с исправлением диагональности контакта линия зуба, образующаяся на развертке начального конуса нарезаемого зубчатого колеса, несколько отличается от окружности. Практически это приводит к уменьшению длины пятна контакта нарезаемого зубчатого колеса; для компенсации этого уменьшения изменяют радиус резцовой головки, принимая его с учетом радиуса кривизны образующейся кривой в средней точке линии зуба. Поэтому нет необходимости определять уравнение всей кривой, достаточно определить радиус ее кривизны в средней точке Р (фиг. 140, а).

(фиг. 140)

Допустим временно, что резцы резцовой головки движутся не по окружности, а по касательной АВ, проходящей через точку Р под углом спирали β. Люлька вращается при этом вокруг точки О_л, а нарезаемое зубчатое колесо — вокруг точки O_ш. Когда люлька повернется на элементарно малый угол ο_л, то развертка конуса зубчатого колеса повернется на угол ο_ш причем, согласно условию наладки станка при исправлении диагональности контакта, скорости движения средней точки Р для люльки и зубчатого колеса одинаковы, поэтому дуга РР’ будет общей для углов 0_л и 0_ш. Следовательно,

0_л=РР¹/L—ΔL и 0_ш=РР’/L

Разделив почленно полученные уравнения, получим

0_ш/0_л=1—ΔL/L

Согласно фиг. 140, разность углов 0_л—0_ш=Δ0, следовательно,

0_л—Δ0/0_л=1—Δ0/0_л=1—ΔL/L

откуда

Δ0=0_л ΔL/L

При повороте люльки на угол 0 линия движения резцов А”В” отклонится от положения А’В’ линии АВ, которое имело бы место, если бы ось зубчатого колеса О_ш совпадала с осью люльки О_л. В момент, изображенный на фиг. 140, а, профилируется точка С линии зуба, причем видно, что она отклонилась от точки С’ прежней линии зуба А’В’. Чем дальше будет поворачиваться система, тем больше точки образующейся линии зуба будут отклоняться от прежней прямой линии, которая, следовательно, превратится в кривую. Определим кривизну этой кривой.

С точностью до бесконечно малых высшего порядка длина дуги кривой равна

Δs=CP’=PP’/cos (90—β)=(L—ΔL)0_л/sin β

Кривизна кривой в точке Р’

χ’=Δ0/Δs=(0_л (ΔL/L)/0_л (L—ΔL)/sin β)≈ΔL sin β/L²

Величину отвода h’ рассматриваемой кривой (фиг. 140, б) можно определить по известной формуле дифференциальной геометрии:

h’=1/2 χ’l²=(ΔL sin β/2L²) l²

При круговых зубьях мы имели бы отвод

h₀=1/2 χ₀l²=l²/2r_u,

следовательно, отвод образующейся кривой от окружности составит

h=h₀—h’=l²/2 (1/r_u—ΔL sin β/L²)=l²/2 (L²—r_u ΔL sin β/r_u L²),

а радиус кривизны кривой

ρ=1/χ=l²/2h=r_u L²/L²—r_u ΔL sin β

Разложив правую часть этого уравнения в ряд и отбросив все члены, начиная с третьего, получим

ρ≈r_u+(r²_u/L²⁾ ΔL sin β

Искомое изменение радиуса резцовой головки Δr₁=ρ—r_u, или окончательно

Δr₁=ΔL (r²_u/L²) sin β (7.63)